Para hacer predicciones sobre series económicas y testear teorías sobre su comportamiento, necesitamos hacer unos supuestos sobre su comportamiento:
Sea \(x_t\) un vector de variables económicas de tamaño \(m \times 1\) generadas en el tiempo \(t\). Estas variables pueden estar correlacionadas contemporáneamente y a través del tiempo. La colección \(\{ x_t, -\infty < t < \infty \}\) es llamada una secuencia (vectorial) aleatoria.
Un data set económico es un conjunto finito , e.g. \(\left\{x_1,\dots,x_n\right\}\), de esta secuencia infinita.
Definimos el proceso generador de datos (PGD) para estas variables como la función de probabilidad conjunta bajo la cual esta secuencia es generada, representando todas las influencias resaltadas.
Gracias al hecho que el tiempo siempre fluye en la misma dirección, eventos pasados pueden ser tratados como dados para la explicación de eventos futuros. Esto es llamado condicionamiento secuencial y es fundamental para hacer predicciones.
Asumamos, por simplicidad, que los datos tienen una función de distribución continua. Entonces, el PGD es representado por la densidad condicional
\[\begin{equation}\label{eq:PGD} D_t\left(x_{t} | \chi_{t} \right) \end{equation}\]
donde \(\chi_t=\sigma(x_{t-1},x_{t-2},x_{t-3},\dots)\). Esta notación es una simplificación para el \(\sigma\)-algebra representando el conocimiento del pasado del sistema. \(\chi_t\) es el \(\sigma\)-algebra más pequeño bajo el cual las variables aleatorias \(x_{t-j}\) son medibles para todo \(j \geq 0\)
En la ecuación la densidad \(D_t\) depende de \(t\), porque no asumimos estacionariedad, en particular debemos hacer concesiones para características como variaciones estacionales, cambios de régimen, cambios regulatorios, entre otros.
Estos conceptos los veremos en futuras clases.
Un modelo econométrico dinámico es una familia de funciones de los datos que pretenden imitar aspectos del PGD, ya sea \(D_t\) o funciones derivadas de \(D_t\) como los momentos.
Formalmente, un modelo es una familia de funciones
\[\begin{equation} \left\{ M \left(x_t,x_{t-1},x_{t-2}.\dots,d_t;\psi\right), \psi \in \Psi \right\}, \Psi \subseteq \mathbb{R}^p \end{equation}\]
Los modelos dependen de una colección de parámetros, de cantidad \(p\), denominados por \(\psi\), y \(\Psi\) son los valores admisibles de los parámetros (espacio parámetrico). El vector \(d_t\) son variables tratadas como no-estocásticas, que tratan de capturar cambios en el PGD a través del tiempo.
Por lo general, se considera uno de los siguientes modelos: \[\begin{align} X_t = T_t + C_t + S_t + I_t \\ X_t = T_t \times C_t \times S_t \times I_t \end{align}\] donde \(X_t\) es la series observada, \(T_t\) es la tendencia de largo plazo, \(C_t\) es el ciclo económico, \(S_t\) es el componente estacional, e \(I_t\) las variaciones residuales.
Sea \(x_t\) una observación aleatoria de una serie de tiempo. Definimos el símbolo \(L\) como:
\[\begin{equation} L x_t = x_{t-1} \end{equation}\]
\(L\) es lo que en matemáticas es conocido como un operador. No es un parámetro o un número pero puede ser tratado como tal para operaciones algebraicas, e.g. \(L^2 x_t = L(L x_t) = L x_{t-1} = x_{t-2}\), en general \(L^n x_t = x_{t-n}\)
En adición, la expresión
\[\begin{equation} \alpha(L) = \alpha_0 + \alpha_1 L + \alpha_2 L^2 + \dots + \alpha_p L^p \end{equation}\]
es llamado el polinomio de orden p del operador de rezagos.
Y si lo aplicamos a un serie de tiempo, generamos una media móvil ponderada de la serie, i.e.
\[\begin{equation} \alpha(L)x_t = \alpha_0 + \alpha_1 x_{t-1} + \alpha_2 x_{t-2} + \dots + \alpha_p x_{t-p} \end{equation}\]
Otro operador usado es
\[\begin{equation} \Delta = 1 - L \end{equation}\]
el operador de diferencia. \(\Delta x_t = x_t - x_{t-1}\) es el cambio en \(x\) en el periodo \(t\).
Es importante anotar la diferencia de notación entre
\[\begin{equation} \Delta_n = 1 - L^n \end{equation}\]
que el operador de la diferencia de \(n\) periodos, y
\[\begin{equation} \Delta^n = (1 - L)^n \end{equation}\]
el operador de la diferencia de orden \(n\), e.g. \(\Delta_2 x_t = x_t - x_{t-2}\) y \(\Delta^2 x_t= \Delta x_t - \Delta x_{t-1} = (x_t - x_{t-1}) - (x_{t-1} - x_{t-2})\)
Esto significa que el cambio proporcional entre los periodos \(t\) y \(t-1\) es aproximadamente, \[\begin{equation} \Delta \ln (x_t) = \ln (x_t) - \ln (x_{t-1}) = \ln (x_{t-1} + \Delta x_t) - \ln (x_{t-1}) \cong \frac{\Delta x_t}{x_{t-1}}</li> </ul> \begin{frame}{Proceso de innovación} Finalmente, definimos el proceso de innovación . Sea $\{\varepsilon, -\infty < t < \infty \}$ un proceso estocástico (o secuencia aleatoria) y sea $\mathcal{E}_{t-1}$ el $\sigma$-algebra de eventos predecibles cuando el pasado de $\varepsilon_t$ es conocido. Y asumimos \begin{align} E(\varepsilon_t | \mathcal{E}_{t-1}) & = 0 \\ E(\varepsilon^2_t | \mathcal{E}_{t-1}) & = \sigma^2 \end{align} Este es un proceso estacionario en el sentido débil, y no auto-correlacionado. Este tipo de proceso se conoce también como {\it ruido blanco} \end{frame} \section{Correlación} \frame{\tableofcontents[currentsection]} \begin{frame}{Correlación} \begin{itemize} \item Una de las principales características de las series de tiempo es la presencia de Auto-correlación o correlaci£n serial. \item Ustedes posiblemente están familiarizados con el concepto de correlación entre dos variables, la auto-correlación implica correlación entre la serie y su pasado. \end{itemize} \end{frame} \begin{frame}{Correlación}\label{Autoco} \begin{block}{\emph{Autocovarianza:}} Si la secuencia aleatoria $\{x_t\}$ tiene media $E[x_t]=\mu_t$ la autocovarianza esta dada por: \begin{equation} \begin{matrix} cov[x_{t_1},x_{t_2}] & = & E[(x_{t_1}-\mu_{t_1})(x_{t_2}-\mu_{t_2})] \\ & = & E[(x_{t_1}x_{t_2})] - \mu_{t_1}\mu_{t_2} \\ & & \hyperlink{Prueba:ac}{\beamergotobutton{Demostración}} \end{matrix} \end{equation}\]
\end{block}
\end{frame}